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第20話 消滅する集合

 任意の線分と集合Sの要素群線分を一定のルールで分割する。(一定のルールは第14話を参照)
 ① 線分Aのように仮想の無限線分上で親線と交差する。←集合SC
 ② 線分Bのように親線の線分上で交差する。←集合SX
 ③ 線分Cのように仮想の無限線分の左側に存在する。←集合SL
 ④ 線分Dのように仮想の無限線分の右側に存在する。←集合SR
 集合Sの要素は①~④のいずれかに必ず該当する。即ち、S=SC+SX+SL+SRとなる。
 ここで、巡回セールスマン問題の回答である最短経路には絶対交差した線分の経路は存在しないという特性がある。このことを証明する必要があると思うが、先を急ぎたいので割愛したい。なんとも不親切な説明であることは重々承知であるが、ご容赦願おう。
 上文の特性から集合SXは消え去る運命にある。何故なら2本の線分が交差するからである。この集合をツリー構造の中に残しても煩わしいだけで、他の集合と無縁のものとなる。これは完全独立系とみなされ、他の集合と影響しあうことはあり得ない。
 集合SCも交差するのだが、交差する点が線分外となるため消滅しない。むしろ、重要な存在となる。集合SLと集合SRを繋げる唯一の集合となるのである。集合SLもSRも集合SCを介さないとSL→SR、SR→SLの関係を築けない。ここで気づいたがこの説明は間違っている。だから以前説明された幾人かは頭を悩ませたのかと今更気づくのであった。故に正しい関係を以下に示したい。しかし、間違っていないことにも気づいた。説明する側がこれだから説明される方はたまったものではないだろう。
 どこから説明すればよいのか悩んだが、集合Pから入るのがよさそうである。集合P=PL+PRであり、完全に独立した集合となる。ところが、子集合PL(PR)から一意に子集合Sを求めてしまうと、集合SCが消滅してしまうのだ。子集合PLには集合SCの要素の一端しか存在していなくて一端は集合SRに存在するからである。尚。子集合SL(SR)は子集合PL(PR)から一意に定められる。
 拠って、任意の線分を親ノードとして親集合PとSを分割したとき、子ノードに分割される情報は、子集合PLとPR、そして集合SCとなる。説明しきっているのだろうか。イメージは完全に頭の中にあるのだが、説明が下手くそである。
 そして、その次のノードは子集合PL(PR)を親ノードとし、集合SCを加えたものになる。自然と、ツリーの階層の奇数番と偶数番では持つ情報も枝分かれするノード数も異なってくる。
 なるほどと理解された方はおられるだろうか?
 そこがおかしいと思われた方はおられるだろうか?
 もう、このブログを読まないと固く決心された方は多いであろうが、今書いていることは、ただの前提でわたしが本当に書きたいこと、つまり面白そうだと思っていることは他にある。早く本題に移りたいものである。

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