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第26話 膨大な数の分枝

 威勢ばかりがよくて、なかなか本題に入れなかったが、ここら辺で思い切りをつけたいと思う。本題に入れなかったのは、イメージが漠然とし過ぎていて何から書くべきか悩んでいたからである。単純なことから入れば道は開けるはずだと思って書き始める。この世の常であるが、先のことはわからない。従って、道は閉ざされるかもしれないが、そのときは、またここに戻って悩むとしよう。
 完全グラフに一定の条件を加えてツリーを作成すると、奇数ノードには線分が偶数ノードには点集合+集合SCが分枝されると記述した記憶があるが、訂正したい。本当はどうでもいいことなのだが、わたしの気がすまなく頭の中の整理がつかないのである。つまり、イメージを混乱させる一因となっている。拠って、こういうことにしたいと思う。
・ 親ノードは全体集合である。(ここが奇数ノード)
・ 子ノードは親ノードから得られる完全グラフのC(Connection)全てである。(偶数ノード)
・ 偶数ノードから分枝するのは、集合PLとPRである。PLとPRは同一の集合SCを持っている。(奇数ノード)
 補足になるが、集合SXは下位のツリー構造から除外される。何故なら、集合PRから完全グラフを作成すると集合SXの要素はその中に含まれないからである。集合PRは集合SXの一端(点)を有するが、一端は集合PLに属しているからである。集合PLも同様である。
 さて、ここで集合PRを切り出したい(集合PLでも同様である)。本来ならば、集合SCも考慮しなければならないのだが、思考を単純化するために集合SCのことを保留としたい。
 またまた、脱線するが宇宙に存在する点は何個あるのだろうか。点を原子として数えてもよい。おそらく数えることは不可能で10の何兆乗個とかそれより遥かに多いかもしれない。言いたいことは、わたしが全体集合としているのはこの膨大な数の点なのである。しかし、その点を電子や原子、陽子、中性子などとすると非常に具合が悪くなる。何故ならそれらは既に特性を持っていて、わたしの思考の妨げとなるからである。このような我が儘が許されるのは数学という学問分野の特権で、問題は意味のある結果をだせるかだけに存するのである。
 話を戻していきたいが、ツリーのノードの階層を1回や2回構築してみても膨大な数は減らないであろう。分枝によって何層もの構造が築かれるものと予想する。何層くらいのツリーになるかと計算してみると、全体集合の点の数をNとしたとき、階層数=logN!となる。但し、底は約Nの2乗である。このNの2乗は完全グラフのCの数である。この計算は概ね正しいのだろうか。概算だからこの先に影響を与えることはないが、式に全く自信はない。
 ついでであるから、1つの呼び名を決めておきたい。ノードという単語が違う意味なのに頻繁に現れる。錯覚を起こすといけないからツリーのノードをTNと呼びたい。

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