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第31話 内側の点と交差する点

 1枚の用紙に三角形を描いてみる。その中に納まるように4点目を加える。4点それぞれを1度だけ通る一筆書きを作成する。するとこの4点を結んだ図形は必ず凹図形となる。この4点から完全グラフを作成すると、線分が交差することはない。また、三角形の内側に3つの3角形が作成される。このとき、元の三角形の頂点を0次点とし、内側の点を1次点とする。
 1次点によって作成された3つの三角形の中の1つに5点目を加える。5点目を2次点とする。つまり、加えた点を囲む三角形の頂点の最も高次の点+1を加えた点の次数とする。ここで完全グラフを作成する。作成の仕方は、加えた点から全ての点に線分を作成して元の完全グラフと合わせると完全グラフとなる。
 ここで2つの図を考えてみる。1つは完全グラフで、1つは親子関係を持った三角形の図である。しかしながら以下の文章は、根拠もなく証明されたものでもない。直感と少しばかりの考察で得たもので今後この話の内容を根拠とした論理展開はしないつもりである。ならば何故こんな話題を述べるかというと、それも直感である。将来いつか何処かで役に立つという予感めいたものがあって、述べずにいられなかったのである。また、図を示して説明すればいいようなものだが、そもそも説明下手で図を示したとて満足な説明はできないだろうと、敢えて文章だけで説明する試みをしている次第である。
 根拠も無く、現在は深く検証する気も無いから曖昧な表現となる。「高次の点ほど各点に描いた線分は交点が少なくなる」交点が少ないほど複雑性が増すとしていたから、加える点が内側に潜り込むほど複雑さは増すことになる。
 なにやら法則性のようなものが見えるのだが、実は三角形の親子関係は勝手に作った1つの組み合わせに過ぎず、複数の点から構成される三角形の親子関係の組み合わせは、点数が増えるほど膨大な量となり、巡回セールスマン問題に匹敵すると思われる。言いたかったことは、複数の点から構成される三角形の親子関係と巡回セールスマン問題の解とは密接な関係にあるということである(あった)。
 これは、ずいぶん昔に考え付いたことなのだが、ふと思い出して戯言を述べてしまったようである。この話を書き始めたときは、もう少し中身のある内容になると思っていたが、全くの試みにもならなくなってしまった。

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